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Topologische Phänomene in der Leitfähigkeit sind bekannt, seit Klaus von Klitzing, Gerhard Dorda und Michael Pepper 1980 den ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt entdeckten [1]. Dabei ist die Hall-Leitfähigkeit eines zweidimensionalen Elektronengases in einem starken senkrecht angelegten Magnetfeld in Stufen von e2/h quantisiert. Die beeindruckende Genauigkeit der Quantisierung deutet darauf hin, dass das zugrundeliegende physikalische Prinzip nicht von Details des Materials abhängt. In einer wichtigen Pionierarbeit zeigten David Thouless, Mahito Kohmoto, Peter Nightingale und Marcel den Nijs zwei Jahre später, dass eine topologische Invariante, die so genannte Chern-Zahl, die Hall-Leitfähigkeit festlegt [2].

Die Chern-Zahl ähnelt in ihrer geometrischen Bedeutung dem Satz von Gauß-Bonnet: Das Integral über die Krümmung einer geschlossenen Fläche ist durch die Anzahl der Löcher gegeben, die der Körper besitzt, den die Fläche umschließt. Sein Wert hängt nicht von der genauen Geometrie der Oberfläche ab, weil die Anzahl der Löcher bei einer stetigen Deformation gleich bleibt. Analog leitet sich die Chern-Zahl aus der Zahl besetzter Landau-Niveaus ab. Sie lässt sich nicht durch stetige Veränderung des Hamilton-Operators ändern – aus diesem Grund ist der Quanten-Hall-Effekt so robust. Ändert sich aber die Anzahl besetzter Landau-Niveaus, kann ein topologischer Phasen­übergang stattfinden, der die Chern-Zahl modifiziert. Die Volu­men-Rand-Korrespondenz besagt, dass die Chern-Zahl direkt mit der Anzahl chiraler Randzustände am Übergang des Systems zum Vakuum zusammenhängt...

Zweidimensionale Materialien zeichnen sich durch außergewöhnliche Eigenschaften aus. Beispielsweise besitzen die Ladungsträger interne Freiheitsgrade wie den Spin, den Pseudospin oder den Valley-Freiheitsgrad [1]. Diese ermöglichen es, quantenmechanische Effekte technologisch zu nutzen, sodass sich die Materialien für die Spintronik und die neuartige Valleytronik anbieten. Beide Technologien ähneln der konventionellen Elektronik. Während dort Elektronen als Träger der elektrischen Ladung dazu dienen, Daten zu speichern, zu bewegen und zu verändern, nutzt die Spintronik dafür die Spinfreiheitsgrade der Elektronen – und die Valleytronik entsprechend den Valley-Freiheitsgrad.

Zweidimensionale Materialien werden aus Van-der-Waals-Materialien hergestellt. Diese besitzen eine ausgedehnte kristalline planare Struktur, die durch starke kovalente Bindungen innerhalb der Ebene und schwache Van-der-Waals-Kräfte senkrecht zu den Ebenen zusammengehalten wird. Das führt zu Schichtsystemen, wobei sich einzelne Lagen durch das Aufbrechen der Van-der-Waals-Bindungen leicht voneinander ablösen lassen, ohne den verbleibenden Kris­tall oder die entfernte Lage zu beschädigen. So ist es möglich, einzelne Graphen-Lagen (zweidimensionales Material) mit einem Klebeband von einem Graphitkristall (Van-der-Waals-Material) abzuziehen und auf beinahe beliebigen Oberflächen oder Substraten abzulegen. Diese technologisch sehr einfache mechanische Methode der Exfoliation ist auch auf andere Van-der-Waals-Materialien anwendbar. Daher wächst derzeit die Anzahl experimentell zugänglicher zweidimensionaler Kristalle mit den unterschiedlichsten Eigen­schaften rasch an. Diese Schichten lassen sich völlig unabhängig von zueinander passenden Gitterkonstanten oder Kristallorientierungen stapeln, sodass Van-der-Waals-Heterostrukturen entstehen. Die Auswahl und Abfolge der Schichten und ihre Orientierung zu­einander erlauben es, die physikalischen Eigenschaften der Heterostrukturen maßzuschneidern [2]...

Elektronische Eigenschaften von Festkörpern sind in unserem Leben allgegenwärtig. Sie bestimmen unter anderem die Farbe von Materialien und deren Fes­tigkeit und werden in elektrischen Bauelementen nutzbar gemacht. Sie sind auch Grundlage zahlreicher Physik-Nobel­preise; prominente Beispiele sind die Hochtemperatur-Supraleitung (1987), der Riesenmagnetowiderstand (2007) oder Graphen (2010). Die elektronischen Eigenschaften von Festkörpern ergeben sich aus der Wechselwirkung von Elektronen mit den Atomen, aus denen der Festkörperkristall aufgebaut ist. Die Elektronen in einem Festkörper spüren die umliegenden Ionenrümpfe und können dadurch andere Eigenschaften besitzen als Elektronen im freien Raum.

Die Dispersionsrelation der Elektronen in einem Festkörperkristall, also die Relation der Energie mit dem Impuls, lässt sich durch das Bändermodell beschreiben, das in Bandstrukturdiagrammen darstellbar ist. Aus solchen Diagrammen sind unter anderem die Gesamtmasse der Elektronen und deren Geschwindigkeit im Festkörper abzulesen. Die einzelnen Bänder können mit Elektronen gefüllt bzw. besetzt (in den Abbildungen in diesem Artikel farbig dargestellt) oder leer bzw. unbesetzt sein. Die Fermi-Energie, welche die besetzten von den unbesetzten Zuständen trennt, bestimmt den „Füllstand“ der Elektronen in einem Festkörper. In geordneten Phasen, wie sie in Kristallen und Magneten vorliegen, legen vor allem Symmetrien die Form der Bandstruktur fest. Denn in einem Kristall sind die Ionen aufgrund ihrer elektrostatischen Wechselwirkungen periodisch angeordnet, wodurch die kontinuierliche Symmetrie des Raums unter Rotationen und Translationen gebrochen wird. Bei typischen Magneten ist zusätzlich ein Teil der Rotationssymmetrie zusammen mit der Zeitumkehrsymmetrie gebrochen. Ändert sich die Symmetrie des Festkörperkristalls, ändern sich folglich auch die Bandstruktur und damit die elektrischen und optischen Eigenschaften des Materials. (...)

Traditionell sind Materialeigenschaften das Ergebnis der Zusammensetzung und Anordnung von Atomen in Kristallen. Abhängig davon, welche Atomspezies in einem Material gemischt sind, ordnen sich die Atome in unterschiedlichen periodischen Strukturen mit verschiedenen Symmetrien und elektronischen Eigenschaften an. Diese Attribute definieren somit die Eigenschaften des Materials und bestimmen, ob es beispielsweise ein Halbleiter, Magnet oder Supraleiter ist.

Um immer reichhaltigere Materialeffekte zu finden, hat sich die Wissenschaft in den letzten Jahrzehnten darauf konzentriert, immer kompliziertere Kristalle herzustellen. Damit ist es gelungen, eine zunehmende Anzahl verschiedener Atomspezies in einem Material zu mischen und eine Vielfalt exotischer Spezies zu entdecken, die in der Natur nicht vorkommen. Ein Beispiel ist der Kuprat-Supraleiter Hg12Tl3Ba30Ca30Cu45O127. Um diese Materialien in der modernen Elektronik einzusetzen, müssen ihre Abmessungen nanometerklein sein. Die Miniaturisierung hat zudem einen weiteren positiven Effekt: Da die Materialien zunehmend empfindlich gegenüber angelegten elektrischen und magnetischen Feldern werden, können wir diese Felder nutzen, um die Materialeigenschaften kontrolliert zu verändern.  (...)

Das Verhalten von Elektronen bestimmt maßgeblich, ob ein Material Strom leitet. Die Elektronen besetzen quantenmechanische Zustände, deren Verfügbarkeit bei einer bestimmten Energie durch die Zustandsdichte beschrieben ist. Entscheidend ist der Bereich um die Fermi-Energie. Bis zu dieser Energie sind die Zustände bei tiefen Temperaturen mit Elektronen gefüllt. Nur wenn dort freie Zustände vorhanden sind, lassen sich Elektronen – oder auch Löcher – anregen, die zum elektrischen Strom beitragen. In Metallen­ ist die Zustandsdichte an der Fermi-Energie hoch, was den Ladungstransport ermög­licht. In Isolatoren hingegen liegt die Fermi-Energie in einer Bandlücke, sodass kein Strom fließt.

Interessant wird es, wenn sich viele Zustände in einem engen Energiebereich konzentrieren – die Zustandsdichte also hoch ist. In solchen Fällen führen die gegenseitigen Wechselwirkungen der Elektronen zu kollektiven Effekten. Daraus entstehen neuartige Quantenzustände wie spontaner Magnetismus, bei dem sich Spins ohne äußeres Magnetfeld ausrichten, oder korrelierte Isolatorphasen, in denen das System trotz metallischer Bandstruktur isolierend ist. (...)

Topologie ist ein Konzept aus der Mathematik, das in den letzten Jahrzehnten auch in der Physik an Bedeutung gewonnen hat. Das gilt neben der tra­ditionellen Festkörperphysik zunehmend auch für synthetische Quantenmaterie wie photonische Wellenleiter oder ultra­kalte Atome in optischen Gittern [1, 2]. Ein zentrales Beispiel sind topologische Isolatoren, die leitende Rand­kanäle besitzen, in denen der Strom verlustfrei transportiert wird. Diese Eigenschaft entsteht aufgrund der Topologie des Materials, die durch ganzzahlige topologische Invarianten wie die Chern-Zahl beschrieben sind. Ein topologisch triviales Material hat eine Chern-Zahl ν  =  0, ein topologisch nicht-triviales Material ν ≠ 0. Die Chern-Zahl bestimmt die Anzahl der leitenden Randkanäle an der Grenzfläche zu einem topologisch trivialen Material oder dem Vakuum. Für viele Anwendungen sind genau diese Randkanäle interessant, weil sie elektrischen Strom nur in eine Richtung leiten und daher gegen Rückstreuung geschützt sind, also einen verschwindenden elektrischen Widerstand haben. 
In diesem Artikel wollen wir die Physik der eher abstrakten topologischen Konzepte anhand von Experimenten mit ultrakalten Atomen in optischen Gittern veranschau­lichen. Hierbei kommen im ersten Schritt Laserkühlung und Evaporation zum Einsatz, um Atome auf sehr kalte Temperaturen von wenigen Nanokelvin zu bringen. Dies verringert die Bewegungsenergie der Atome so weit, dass sie in periodischen Potentialen gefangen sind, die durch interferierende Laserstrahlen entstehen (Abb. 1a). Die Bewegung der Atome in diesem künstlichen Kristall aus Laserlicht lässt sich ähnlich wie die Bewegung von Valenz­elektronen in einem Festkörper beschreiben. Somit stellt dieses im Labor erzeugte, wohl kontrollierte System ein stark vereinfachtes Modell von Festkörpern dar (Abb. 1b, c) und erlaubt es, deren grundlegende elektronische Eigenschaften zu untersuchen. Diese Quantensimulation der Physik von Festkörpern bietet neue Einblicke, die in vielerlei Hinsicht komplementär zu den Messgrößen in Festkörpern sind [3]. Dieser Ansatz ist besonders vielversprechend für wechselwirkende topologische Zustände, deren Eigenschaften trotz jahrzehntelanger Forschung immer noch Rätsel aufgeben. (...)

Aus wertlosen Metallen Gold zu machen – das ist ein alter Menschheitstraum. Ausgehend von den Alchemisten des Mittelalters kristallisierte sich daraus die wissenschaftliche Methode von Versuch und Irrtum, wodurch im 17. und 18. Jahrhundert die moderne Chemie aus der Alchemie entstand. Im 21. Jahrhundert hat das Gold seinen Status zugunsten neuer „Quantenmateria­lien“ eingebüßt, die einmal in grünen Technologien oder Quantenanwendungen zum Einsatz kommen sollen. Quantenmaterialien sind Festkörper, in denen es durch elektronische Korrelationen, Topologie oder beides interessante Phasendiagramme gibt. Diese Phasendiagramme enthalten thermische Materialzustände, die durch thermodynamische Variablen wie Druck, chemische Zusammensetzung oder Temperatur zu kontrollieren sind. 

Eine weitere Möglichkeit, um Materialzustände zu ändern, bieten Laserpulse. Im Gegensatz zu den Gleich­gewichtsphasendiagrammen bringt eine Laseranregung das Material jedoch weg vom thermischen Gleichgewicht, da der Laser dem System Energie zuführt. Die Idee von lichtgetriebenen Materialzuständen besteht nun darin, dass diese zusätzliche Energie auf kurzen Zeitskalen (1 Femtosekunde = 10–15 Sekunden) nicht das Material aufheizt, also die Temperatur erhöht, sondern etwa kohärent dessen elektronische Struktur verändert. Dadurch lassen sich neue Zustände stabilisieren, die im Gleichgewicht nicht existieren oder die sonst instabil wären. (...)
 

Was verbindet die sieben Brücken in Königsberg, Schwarze Löcher und Krawatten? All dies sind Beispiele dafür, wie sich grundlegende Fragen mit topologischen Mitteln beantworten lassen. Topologie erklärt, weshalb sich kein Rundweg über die sieben Königsberger Brücken finden lässt, dass Schwarze Löcher im Universum eine Singularität besitzen müssen und wieso es genau 266 682 Möglichkeiten gibt, eine Krawatte zu binden [1].

Die Topologie ist als eigene mathematische Disziplin noch vergleichsweise jung. In einfachen Worten befasst sie sich mit den Eigenschaften geometrischer Gebilde, die bei „elastischen Verformungen“ wie Dehnen, Stauchen, Verbiegen oder Verzerren erhalten bleiben. Man sagt, die betreffenden Gebilde seien topo­logisch äquivalent oder „homöomorph“: Anschaulich gesagt bleiben Randpunkte weiterhin Randpunkte, und Kreuzungen bleiben Kreuzungen, selbst wenn sich Winkel und Abstände ändern (Abb. 1). Außerdem bleibt ein geschlossener Linienzug als solcher erhalten. ,,Auf dem Rand liegend”, ,,innen”, ,,außen”, ,,sich schneidend”, ,,geschlossen” sind topologisch invariante Eigenschaften. Topologie formalisiert den Begriff „Nähe“, ähnlich wie die algebraischen Strukturen die Rechengesetze formalisieren. Ziel ist es dabei, eine Menge von Objekten zu klassifizieren, d. h. topologisch äquivalente Objekte in Klassen zusammenzufassen...

Die Entdeckung der Supraleitung durch Heike Kamerlingh Onnes im Jahre 1911 entsprang einem ambitionierten Forschungsprogramm, dem sich Onnes Zeit seines Lebens widmete und in dem er auf einzigartige Weise industrielle Standards in der Grundlagenforschung umsetzte [1]. Der erste große Erfolg dieser frühen Großforschung war die Verflüssigung von Helium im Jahre 1908 [2]. Sie machte der im 19. Jahrhundert entwickelten Vorstellung der Existenz nicht-verflüssigbarer Permanentgase den endgültigen Garaus. Noch bis 1923 war das Leidener Tieftemperaturlabor weltweit der einzige Ort, an dem Helium verflüssigt werden konnte [3, 4].
Onnes erkannte, dass viele der damals neuen Erkenntnisse der Physik „Messungen bei niedrigen Temperaturen zu einem Gegenstand höchsten Interesses bei Physikern“ machten ([5], S. 308). Dazu zählten nicht zuletzt Walther Nernsts Wärmesatz von 1905, der später leicht abgeändert zum dritten Hauptsatz der Thermodynamik wurde, Max Plancks Quantentheorie von 1900 und Plancks „zweite Quantentheorie“, die das Konzept der Nullpunktsenergie umfasste ([6], S. 246). Onnes hoffte, die damit verbundenen lebhaften Debatten durch Tieftemperaturexperimente mitzuentscheiden. Sein Forschungsprogramm wurzelte zwar tief in der Chemie und Thermodynamik des 19. Jahrhunderts, wandte sich jedoch bewusst den drängenden Fragen der modernen Physik zu. ...