Mathematical Aspects of Quantum Field Theory

Dieses schlanke Buch über Quantenfeldtheorie wurde zwar von Mathematikern − zwei brasilianischen Professoren für Analysis − für Mathematiker geschrieben, lässt sich aber auch von Physikern mit Gewinn lesen. Auf nur knapp 300 Seiten ist es den Autoren gelungen, den Aufbau der QFT verständlich und kompakt nachzuzeichnen und gleichzeitig viele Facetten ihrer mathematischen Struktur zu beleuchten.

Leitmotiv des Buches ist es, zu verdeutlichen, warum Physiker bestimmte Methoden entwickelt haben, und diese dann aus mathematischer Sicht nachzuvollziehen. Der etwas ironische Satz „Physicists do not stop at such mathematical difficulties“ (im Zusammenhang mit dem Pfadintegral) markiert die Herausforderung, den erfolgreichen Pragmatismus der QFT in saubere Mathematik umzuwandeln. An keiner Stelle jedoch lassen sich die Autoren dazu verleiten, die Eleganz einer mathematischen Struktur über deren physikalische Begründung zu stellen.

Bei der Themenauswahl wird das Buch den vielfältigen Zugängen zur Quantenfeldtheorie durchaus gerecht: Die Autoren diskutieren funktorielle und kanonische Quantisierung, Deformationsquantisierung, Pfadintegral, Störungstheorie und BRST-Kohomologie von nicht-abelschen Eichtheorien ebenso wie die Grundzüge der axiomatischen Zugänge und konstruktiven Methoden. Bei der Renormierungstheorie machen sie den BPHZ-Zugang sowie die Flussgleichungen-Methode ohne viel technisches Beiwerk auf wenigen Seiten transparent. Das letzte Kapitel ist dem Standardmodell der Elementarteilchen und seiner Symmetriestruktur gewidmet; die Darstellung ist weitgehend konventionell, wird aber durch eine mathematische Analyse der zugrundeliegenden Faserbündelstruktur sinnvoll ergänzt. Die beiden Anhänge über Operatoralgebren und Spektraltheo­rie sind lesenswert, auch wenn der inhaltliche Zusammenhang wenig heraus­gearbeitet ist.

Natürlich gibt es immer etwas auszusetzen. Vielleicht kommt die Floskel „it turns out“ ein wenig zu oft vor; so hätte man bei der recht subtilen Wick-Rotation gerne eine Begründung gesehen. Die Unterscheidung zwischen Korrelations-, zeitgeordneten und Schwinger-Funktionen bleibt, obwohl korrekt eingeführt, häufig unscharf. Und die verunglückte Liste der halbzahligen Drehimpuls-Quantenzahlen im Quantenmechanik-Kapitel wäre vermeidbar gewesen. Dennoch wird das durchdacht und einladend präsentierte Buch für eine schnelle Orientierung in der Quantenfeldtheorie gute Dienste leisten.

Prof. Dr. Karl-Henning Rehren, Institut für theoretische Physik, Universität Göttingen