Quantum Groups
Kassel
Quantum Groups
Von C. Kassel.
Springer, Heidelberg 1995. 531 S., 88 Abb., Hardcover,
ISBN 3-540-94370-6
Quantengruppen haben seit Mitte der 80er Jahre unter Physikern und Mathematikern einiges Aufsehen erregt, da sie in gewissem Sinn das wohlbekannte Konzept der Quantisierung auf Symmetriegruppen und auf topologische Strukturen anwenden.
Inzwischen sind einige Buchwerke erhältlich, die mit unterschiedlichen Schwerpunkten in dieses relativ neue Forschungsgebiet einführen.
Im vorliegenden Werk wird versucht, die mathematischen Strukturen aufzuzeigen, die sich hinter dem Wort Quantengruppe verbergen. Das Haupt augenmerk legt der Autor dabei auf die Verbindung zwischen Quantengruppen und Knotentheorien.
Das Buch ist in vier größere Abschnitte unterteilt, die jeweils einen Aspekt eingehender beleuchten. Der erste Abschnitt führt das mathematische Grundgerüst der Quantengruppen ein, insbesondere die Hopf-Algebren. Anschaulich wird am Beispiel der Gruppe SL(2) aufgezeigt, wie man von der gewöhnlichen Symmetriegruppe zur Quantengruppe gelangt. Diese vergleichende Beschreibung ist gut gelungen. Im nächsten wird die Konstruktion von Quantengruppen als parameterabhängige Deformationen von Hopf-Algebren behandelt. Die beiden wichtigen Methoden (FRT und Quantum Double) werden eingehend diskutiert. Der dritte Abschnitt bildet das Kernstück des Buches. Hier wird der Zusammenhang von niedrigdimensionaler Topologie (sprich Knotentheorien) und Quantengruppen analysiert. Die Schilderung in diesem Teil des Buches bedient sich der Sprache der Kategorien und Funktoren, die unter bestimmten mathematischen Aspekten dem Gegenstand angemessen ist. Der vierte Teil ist weitergehenden Themen gewidmet. Dabei werden zunächst allgemeine Aussagen die Deformation von Algebren und Hopf-Algebren betreffend hergeleitet. Anschließend diskutiert der Autor die Monodromie der Knizhik-Zamolodchikov-Gleichungen. Neuere Ergebnisse über die Vassilievschen Knotenvarianten werden am Schluß des Buches vorgestellt.
Einige vom physikalischen Standpunkt interessante Aspekte der Quantengruppen werden nicht berücksichtigt. Dabei sind etwa zu erwähnen: die Quantisierung von Poisson-Lie-Algebren, die Verbindung von Quantengruppen zu den integrablen Modellen, Chern-Simons-Theorien etc. Auch wäre eine eingehendere Diskussion anderer Quantengruppen als nur SL(2) wünschenswert gewesen. Die angesprochenen Gesichtspunkte liegen allerdings außerhalb der Zielsetzung des Autors, und die entsprechenden Hinweise auf Originalliteratur werden gegeben.
Das Buch kann bereits mit Grundkenntnissen in Algebra und Topologie gewinnbringend gelesen werden, besonders deshalb, weil fast alle mathematischen Beweise sehr ausführlich und verständlich sind. Insgesamt stellt das vorliegende Werk eine sehr gelungene Einführung in die Mathematik der Quantengruppen und Knotentheorien dar.
M. Pillin, Kyoto
| Dieses Buch können Sie direkt bei amazon.de |  | |
