Topology for Physicists

Von A. S. Schwarz.
Springer, Heidelberg 1994. XI + 296 S., 54 Abb., Hardcover,
ISBN 3-540-54754-1

Seit langem schon gehört die Topologie zum unverzichtbaren mathematischen Werkzeug des theoretischen Physikers. Beispiele für ihre Anwendungen in der Physik sind der Bohm-Aharonov-Effekt, der Diracsche (magnetische) Monopol und die Berry-Phase in der Quantenmechanik. Topologische Effekte spielen eine wesentliche Rolle in den Eichtheorien, welche dem Standardmodell der starken und elektroschwachen Wechselwirkungen zugrunde liegen; z. B. können topologisch nichttriviale Lösungen der klassischen Feldgleichungen (Monopole und Instantonen) neuartige und nichtstörungstheoretische Effekte verursachen. Auch die Klassifikation von Anomalien in chiralen Eichtheorien läßt sich auf topologische Fragestellungen zurückführen. In der Festkörperphysik hat die Topologie ebenfalls ihren festen Platz, z. B. beim Studium von Defekten und Versetzungen in Festkörpern. Als letztes Beispiel seien hier Kosmologie und Gravita tionstheorie genannt. Kosmische Strings und Defekte sind mitverantwortlich für die Bestimmung der Phase, in welcher das Universum nach der Abkühlung endet. Die z. Zt. viel diskutierten Schwarzen Löcher sind ebenso wie verwandte Lösungen der Einsteinschen Gleichungen im wesentlichen durch ihre topologischen Eigenschaften festgelegt.

Das vorliegende Buch von A. S. Schwarz ist als Einführung für Physiker konzipiert und führt den Leser von den Anfängen bis zu den fortgeschrittenen Anwendungen der mathematischen Theorie. Auf diesem Weg werden grundlegende Begriffe erläutert (metrische und topologische Räume, differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Homologie und Kohomologie, u. a. ). Unter den anspruchsvolleren Themen findet der Leser Kapitel über Homotopiegruppen und Faserbündel, Lie-Gruppen und Lie-Algebren sowie am Ende eine ausführliche Diskussion der Geometrie von Eichtheorien (charakteristische Klassen, Gribov-Ambiguität). Entsprechend seiner pädagogischen Konzeption verzichtet der Autor an einigen Stellen auf mathematisch vollständige Beweise und zieht es statt dessen vor, die mathematischen Sachverhalte an Beispielen zu erläutern. Diese Verfahrensweise kommt der Verständlichkeit sehr zugute. Ein weiterer didaktischer Trick ist die Kennzeichnung des Schwierigkeitsgrades im Inhaltsverzeichnis, welche es dem Leser erlaubt, beim ersten Durcharbeiten schwierigere und speziell gekennzeichnete Abschnitte zunächst ohne Schaden zu überspringen und sich erst danach den fortgeschrittenen Themen zuzuwenden. Als Einführung in ein für die moderne Physik wichtiges Teilgebiet der Mathematik kann ich das Buch ohne Einschränkung empfehlen.

H. Nicolai, Hamburg

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