Ungewöhnliche Wärmeleitung in Nanoröhren

Die Wärmeleitfähigkeit von Nanoröhren aus Kohlenstoff oder Bornitrid ist nicht konstant sondern längenabhängig.

Trotz intensiver Erforschung wirft die Wärmeleitung in Kristallen weiterhin viele Fragen auf. So hat man für das Verhalten kristalliner Körper, die einem Temperaturgefälle ausgesetzt sind, noch immer keine zufriedenstellende theoretische Erklärung. Die Herleitung des Fourier-Gesetzes, das für Wärmeleiter dieselbe Rolle spielt wie das Ohmsche Gesetz für elektrische Leiter, stößt auf große Schwierigkeiten. Unklar ist zum Beispiel, unter welchen Bedingungen das Fourier-Gesetz überhaupt gilt. Eindeutig verletzt ist es bei der Wärmeleitung in Nanoröhren aus Kohlenstoff oder Bornitrid, wie Messungen an der University of California in Berkeley ergeben haben.

Das Fourier-Gesetz besagt, dass der Wärmefluss J in einem thermischen Leiter proportional zum Temperaturgradienten ist: J = – κ grad T, mit der materialspezifischen thermischen Leitfähigkeit κ. Wie gut ein Körper die Wärme tatsächlich leitet, hängt von seinem Querschnitt A und seiner Länge L ab: Seine „thermische Konduktanz“ ist κ A/L. Durch Messung der Konduktanz kann man bei bekanntem A und L die thermische Leitfähigkeit κ ermitteln. Für praktisch alle bisher untersuchten (dreidimensionalen) wärmeleitenden Substanzen hat sich κ als längenunabhängig erwiesen. Bei Modellrechnungen für verschiedene eindimensionale Systeme zeigte κ jedoch eine L-Abhängigkeit, womit das Fourier-Gesetz verletzt war.

Dass auch quasi-eindimensionale reale Systeme das Fourier-Gesetz verletzten, haben jetzt Alex Zettl und seine Mitarbeiter nachgewiesen. Sie haben die Wärmeleitung von mehrwandigen Nanoröhren aus Kohlenstoff- bzw. Bornitrid zwischen unterschiedlich weit voneinander entfernten thermischen Kontakten gemessen. In früheren Experimenten hatten sie gezeigt, dass die Röhren unter bestimmten Bedingungen die Wärme in entgegengesetzte Richtungen unterschiedlich gut leiten. Bei ihrem neuen Experiment legten sie die gut 10 µm langen und 10 bis 40 nm dicken Röhren einzeln auf eine Unterlage aus Siliziumnitrid, in die elektrische Widerstände aus Platin integriert waren. Mit ihnen konnten die Nanoröhren aufgeheizt und zugleich die Wärmeleitung entlang der Röhren ermittelt werden. Zunächst wurden die Röhren jeweils mit zwei Kontakten im Abstand von 7 µm versehen und ihre Wärmeleitfähigkeit gemessen. Dann brachten die Forscher nach und nach zusätzliche Kontakte auf den Röhren an und verringerten dadurch die wärmeleitende Strecke L schrittweise auf die Hälfte.

Bei allen untersuchten Nanoröhren zeigte die thermische Konduktanz eine andere Längenabhängigkeit, als man es aufgrund des Fourier-Gesetzes erwartet hätte. So leiteten die Röhren die Wärme bei Halbierung der Länge nicht doppelt sondern nur etwa 1,3-mal so gut wie bei voller Länge. Die thermische Leitfähigkeit κ war somit für Nanoröhren keine Materialkonstante, sondern sie hing von der Länge des wärmedurchflossenen Röhrenabschnitts folgendermaßen ab: κ ~ L ^β, wobei für die Kohlenstoffröhren (C-Röhren) β=0,7 und für die Bornitridröhren (BN-Röhren) β=0,5 war. Die elektrisch leitenden C-Röhren leiteten die Wärme demnach etwas schlechter als die BN-Röhren, die Isolatoren waren. Das könnte daran liegen, dass die C-Röhren viel isotopenreiner waren als die BN-Röhren. Da für die Wärmeleitung in den C- und den BN-Röhren überwiegend bzw. ausschließlich Phononen verantwortlich waren, führte die größere Isotopenunordnung in den BN-Röhren zu einer stärkeren Kopplung zwischen den Phononen und dadurch zu einem besseren Wärmetransport.

Dass die Nanoröhrenabschnitte das Fourier-Gesetz verletzten, lag nicht an ihrer mikroskopischen Länge, die immerhin 4 bis 7 µm betrug und damit viel größer war als die mittlere freie Weglänge der Phononen, die zwischen 20 bis 50 nm lag. Auf dieser Distanz verloren die Phononen ihre Phasenkohärenz, sodass sie die Wärme anschließend nicht mehr „ballistisch“ transportierten sondern „diffusiv“. Bei einem zwei- und dreidimensionalen System wäre daraufhin das Fourier-Gesetz erfüllt. Doch die Nanoröhren sind quasi-eindimensional, da ihr Durchmesser etwa so groß ist wie die mittlere freie Weglänge der Phononen. Das hat den jetzt beobachteten ungewöhnlichen Wärmetransport zur Folge, der nach Meinung der Forscher zu vielen Anwendungen führen könnte.

Rainer Scharf

Weitere Infos:

• Originalveröffentlichung:
  C. W. Chang et al.: Breakdown of Fourier's Law in Nanotube Thermal Conductors. Phys. Rev. Lett. 101, 075903 (2008).
  http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.075903
• Gruppe von Alex Zettl an der University of California in Berkeley:
  http://www.physics.berkeley.edu/research/zettl/