Chaos: An Introduction to Dynamical Systems

Chaos: An Introduction to Dynamical Systems

Von K. Alligood, T. D. Sauer u. J. A. Yorke.
Springer, Heidelberg 1996. XVII + 603 S., Softcover, DM 64,-.
ISBN 0-387-94677-2

Das vorliegend Buch erschien in der Reihe "Textbooks in Mathematical Sciences" bei Springer und wendet sich an Studenten nach dem Vordiplom. Es beschreibt die mathematischen Grundlagen der Theorie Dynamischer Syteme. Die Palette der Themen reicht von eindimensionalen Abbildungen über chaotische Attraktoren, stabile Mannigfaltigkeiten und Krisen bis hin zur Zustandsrekonstruktion aus Daten. Diese zunächst eher konventionell erscheinende Auswahl täuscht leicht über den wahren Charakter des Buches hinweg. Seine Qualitäten liegen im Detail.

Der Text enthält eine ganze Reihe von mathematischen Leckerbissen. So etwa einen fünfseitigen Beweis des Poincaré-Bendixson-Theorems, Diskussionen von Markov-Partitionen, des Theorems über stabile Mannigfaltigkeiten etc..

Weiterhin werden in sogenannten "Laborbesuchen" am Ende jedes Kapitels Anwendungen der mathematisch entwickelten Ideen vorgestellt. Die Themenwahl reicht dabei von der Frage "Ist das Sonnensystem stabil?" über "Stationäre Zustände und periodisches Verhalten in Neuronen von Tintenfischen" bis hin zur "Synchronisation zwischen Lasern". Diese "Laborbesuche" machen die Bedeutung der sonst oft im "Satz-Beweis"-Stil präsentierten Materie vorzüglich deutlich.

Zahlreiche Übungsaufgaben ergänzen den dargebotenen Stoff. Darunter befindet sich in jedem Kapitel eine sogenannte Herausforderung ("Challenge"). Darin wird der Leser - mit oft mehrseitigen Anleitungen - angehalten, Beweise zu mathematisch anspruchsvolleren Themen wie: "Periode drei impliziert Chaos", dem "Sarkovskii-Theorem" oder dem "Beschattungs-Theorem" zu finden.
Das Buch wendet sich an Anfänger und erfüllt diesen Anspruch durch klaren Aufbau, ausführliche Beweise und zahlreiche Abbildungen - darunter 25 Farbtafeln. Es ist von Mathematikern geschrieben und daher für Physiker ewas trocken zu lesen. Dabei kann es durchaus vorkommen, daß vor lauter Einzelbeweisen die großen Zusammenhänge nicht mehr deutlich werden. Das Buch erschließt aber dem geduldigen Leser, der sich von fast 600 Seiten nicht abschrecken läßt, eine Fülle von soliden mathematischen Einsichten. Einer der Autoren, J. A. Yorke, ist ein Pionier auf dem Gebiet der Dynamischen Systeme, der z. B. durch Arbeiten zur "Kaplan-Yorke-Dimension", "Periode drei impliziert Chaos" und grundlegende Beiträge zur Chaoskontrolle bekannt wurde. Die Qualität des Buches entspricht den Erwartungen, die man mit seinem Namen verbindet. Es kann daher jedem, der sich ernsthaft mit der mathematischen Theorie dynamischer Systeme beschäftigen will, empfohlen werden; er wird es mit Gewinn lesen.

H. G. Schuster, Kiel

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