Nonlinear Dynamics and Quantum Chaos

Die Dynamik klassischer Systeme wird in vielen Fällen durch nicht­lineare Differentialgleichungen beschrieben. Damit verbunden sind eine mögliche Instabilität der Lösungen, Strukturwechsel bei Bifurkationen und eine Fülle weiterer interessanter Effekte. Für Quanten­systeme gilt dagegen die lineare Schrödinger-Gleichung. Hieraus ergibt sich das höchst interessante Spannungsfeld zwischen klassischem Chaos und Quantenchaos. Aspekte des Quantenchaos zeigen sich in der statistischen Verteilung der Energieniveaus oder in der „Vernarbung“ der Wellenfunktionen entlang klassisch instabiler Bahnen.

Das Buch von Sandro Wimberger (mit einem Vorwort von Giulio Casati) hat zum Ziel, die klassi­schen und quantenmechanischen Aspekte des Chaos gleichgewichtig zu beleuchten. Entstanden ist es aus Vorlesungen, die der Autor an der Universität Heidelberg gehalten hat.

Im ersten Teil liegt der Fokus nach einer kurzen Betrachtung eindimensionaler diskreter Abbildungen auf der Behandlung nichtlinearer Hamiltonscher Systeme: Wimberger diskutiert die Hamilton-­Jacobi-Theorie und Wirkungs-Winkel-Variablen für integrable Systeme, die klassische Störungstheorie und das KAM-Theorem für fast integrable Systeme sowie die Auflösung der Torusstrukturen bei zunehmender Störung und der Übergang zum vollständigen Chaos.

Der zweite Teil des Buches widmet sich den Aspekten des Quantenchaos: Nach Behandlung der Torusquantisierung integrabler Systeme wird Gutzwillers Spur­formel zur semiklassischen Quantisierung nicht integrabler Systeme hergeleitet. Wimberger führt die Wigner- und Husimi-Funktion als Mittel ein, um quantenmechanische Lokalisierungseffekte im Phasenraum aufzudecken. Er erläutert die Anderson-Lokalisierung von Zuständen in nichtperiodischen Potentialen sowie die dynamische Lokalisierung in zeitabhängigen Quantensystemen. Den Abschluss bildet ein Kapitel zur universellen Level-Statistik, das die Grundzüge der Theorie der Zufallsmatrizen entwickelt und Signaturen des Quantenchaos in der statistischen Verteilung der Niveauabstände aufzeigt.

Angesichts der Fülle der Themen verwundert der Umfang von nur rund 200 Seiten. Dadurch lassen sich viele Themen nur anreißen, aber nicht wirklich vertiefen. Das Buch bietet aber, wie im Titel angekündigt, einen Einstieg in die Thematik und einen guten ersten Überblick. Dafür kann ich es wärmstens empfehlen. Der an einem tieferen Verständnis interessierte Leser wird jedoch nicht umhin kommen, den an vielen Stellen gegebenen Verweisen auf die Origi­nalliteratur und ausführlichere Lehrbücher zu folgen.

Prof. Dr. Jörg Main, Universität Stuttgart