27.07.2023

Beschleunigte Monte-Carlo-Simulationen

Neuer Algorithmus verkürzt die Rechenzeit für Einblicke in Phasenübergänge drastisch.

Forschende der Universität Leipzig haben eine äußerst effiziente Methode zur Untersuchung von bislang sehr komplexen Systemen mit langreichweitigen Wechselwirkungen entwickelt. Diese Systeme können Gase oder auch feste Materialien wie etwa Magnete sein, deren Atome nicht nur mit ihren Nachbarn, sondern viel weit­reichender wechselwirken. Die Forschenden um Wolfhard Janke nutzen dafür Monte-Carlo-Computersimulationen. Bei diesem Verfahren aus der Stochastik werden zufällige Systemzustände generiert, aus denen sich die gewünschten Eigenschaften des Systems ermitteln lassen. Auf diese Weise erlauben Monte-Carlo-Simulationen tief­gehende Einblicke in die Physik von Phasen­übergängen. Die Forschenden fanden einen neuen Algorithmus, mit dem diese Simulationen in wenigen Tagen durchgeführt werden können, für die man mit herkömm­lichen Methoden Jahrhunderte benötigt hätte. 

Abb.: Visualisierung des Entscheidungs­prozesses über den neuen Zustand des...
Abb.: Visualisierung des Entscheidungs­prozesses über den neuen Zustand des rot dargestellten Spins eines ferro­magnetischen Systems mit langreich­weitigen Wechsel­wirkungen. (Bild: U. Leipzig)

Ein physikalisches System ist im Gleichgewicht, wenn sich seine makroskopischen Eigenschaften wie Druck oder Temperatur zeitlich nicht ändern. Von Nicht­gleichgewichts­prozessen spricht man, wenn das System durch Umwelt­veränderungen aus dem Gleichgewicht geraten ist und dann einen neuen Gleichgewichtszustand anstrebt. „Diese Prozesse rücken immer stärker ins Zentrum der Aufmerksamkeit statistischer Physiker weltweit. Während für Systeme mit kurzreich­weitigen Interaktionen eine Vielzahl von Studien zahlreiche Aspekte von Nichtgleich­gewichts­prozessen beleuchtet hat, steckt das Verständnis für die Rolle von langreich­weitigen Wechselwirkungen in solchen Prozessen noch in seinen Kinderschuhen“, erklärt Janke.

Für kurzreichweitige Systeme, deren Komponenten nur mit ihren Nachbarn in kurzer Entfernung wechselwirken, wächst die Anzahl der Operationen, die für die Berechnung der Entwicklung des gesamten Systems über einen Zeitschritt hinweg benötigt werden, linear in der Anzahl der enthaltenen Komponenten. Bei langreich­weitig wechsel­wirkenden Systemen muss für jede Komponente die Wechselwirkung mit allen anderen auch weit entfernten Komponenten mit einbezogen werden, was einen quadratischen Anstieg der Laufzeit mit wachsender Systemgröße mit sich bringt. Den Forschenden um Janke ist es nun gelungen, diese algo­rithmische Komplexität mithilfe einer Umstruk­turierung des Algorithmus und einer geschickten Kombi­nation von geeigneten Daten­strukturen zu reduzieren. Dies spiegelt sich bei großen Systemen in einer massiven Reduzierung der benötigten Computerzeit wider und ermöglicht dadurch die Untersuchung vollkommen neuer Frage­stellungen.

Im Zentrum der Arbeit steht die effiziente Anwendbarkeit der neuen Methode auf Nichtgleich­gewichtsprozesse in Systemen mit langreichweitigen Wechselwirkungen gezeigt. Ein Beispiel sind spontane Ordnungsprozesse in einem anfangs ungeordneten heißen System, in dem nach einem abrupten Temperatur­abfall geordnete Bereiche mit der Zeit anwachsen bis ein geordneter Gleichgewichtszustand erreicht ist. Aus unserem Alltag kennen wir hierfür die Tröpfchen­bildung nach einer heißen Dusche an einem kalten Fenster, wobei der heiße Dampf abrupt abkühlt und sich wachsende Tropfen bilden. Ein verwandtes Beispiel sind Prozesse mit kontrollierten langsameren Abkühl­raten, bei denen vor allem die Ausbildung von Wirbeln und anderen Strukturen von Interesse ist, die sowohl in der Kosmologie als auch in der Festkörper­physik eine wichtige Rolle spielen.

Darüber hinaus haben die Forschenden den Algorithmus auch schon erfolgreich auf den Prozess der Phasen­separation angewendet, bei dem sich zum Beispiel zwei Teilchen­sorten spontan entmischen. Derartige Nichtgleich­gewichtsprozesse spielen eine fundamentale Rolle sowohl bei industriellen Anwendungen als auch für die Funktion von Zellen in biologischen Systemen. Diese Beispiele verdeutlichen das breite Spektrum von Anwendungs­szenarien, die sich durch diesen methodischen Fortschritt in der Grundlagen­forschung und bei praktischen Anwendungen bieten.

Solche Computersimulationen bilden neben Experi­menten und analytischen Ansätzen den dritten Grundpfeiler der modernen Physik. Eine Vielzahl physi­kalischer Frage­stellungen lässt sich nur näherungsweise oder gar nicht mit analytischen Methoden angehen. Bei einer experimentellen Heran­gehensweise sind gewisse Frage­stellungen oft schwer zugänglich und setzen komplexe, teils jahrelang dauernde Versuchs­aufbauten voraus. Computer­simulationen haben deshalb in den vergangenen Jahrzehnten maßgeblich zum Verständnis eines breiten Spektrums von physikalischen Systemen beigetragen.

U. Leipzig / JOL

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