Ein Simulator für das Hubbard-Modell

Hochtemperatursupraleiter und andere Systeme mit stark wechselwirkenden fermionischen Quanten­teilchen werfen weiterhin viele Fragen auf, da man ihr Verhalten oft weder analytisch noch mittels Computer­simulation wirklich zufriedenstellend erklären kann. Ein Quantensimulator mit ultrakalten Fermi-Atomen könnte die Wende bringen. An der Harvard Universität haben Forscher um Markus Greiner und Eugene Demler einen leistungsfähigen Quantensimulator gebaut. Mit ihm können sie die Eigenschaften des Hubbard-Modells auch in solchen Parameter­bereichen untersuchen, die anderen Methoden bisher unzugänglich sind, wo es aber „interessante Physik“ gibt.

Das Hubbard-Modell hat 1963 der britische Physiker John Hubbard eingeführt. Es beschreibt stark vereinfachend einen Kristall, in dem sich Elektronen zwischen benachbarten Gitter­plätzen tunnelnd bewegen können und einander abstoßen, wenn sich zwei von ihnen auf demselben Gitterplatz befinden. Während man das Modell für ein­dimensionale Gitter gelöst hat, ist man im zwei­dimensionalen Fall meist auf Näherungen angewiesen, die aber dort versagen, wo es interessant wird.

Abhängig von Temperatur und Elektronendichte (der Zahl der Elektronen pro Gitterplatz) zeigt das Hubbard-Modell ein reichhaltiges Verhalten. Gibt es für jedes Elektron genau einen Gitterplatz, so blockieren sich die Teilchen in ihrer Beweglichkeit. Stoßen sie einander stark ab, so liegt ein Mott-Isolator vor, der bei hinreichend tiefer Temperatur anti­ferro­magnetische Ordnung zeigt: In einem quadratischen Gitter wechseln dann die Gitter­plätze mit „Spin hoch“ und „Spin runter“ ab wie die schwarzen und weißen Felder eines Schachbretts.

Gibt man den Elektronen größere Beweglichkeit, indem man ihre Zahl im Gitter verringert, so erhält man einen metallischen Zustand, der bei hinreichender Abkühlung zu einem supra­leitenden Zustand wird, mit dem man Hoch­temperatur­supraleiter beschreiben könnte. Wie der Übergang vom antiferromagnetischen Mott-Isolator zum unmagnetischen Supra­leiter aussieht, ist noch unklar. Hier könnte der Hubbard-Simulator aus Harvard weiterhelfen.

Der Simulator bestand aus einem ultrakalten Gas von fermionischen Lithium-6-Atomen, die mit Licht in einem ebenen, kreisförmigen Bereich festgehalten wurden. In der Mitte des Kreises befand sich ein von Laserstrahlen erzeugtes Lichtgitter mit etwa achtzig Gitterplätzen. Das Pauli-Verbot sorgte dafür, dass sich in jedem Gitterplatz höchstens zwei Atome aufhalten konnten, deren Spins dabei in entgegen­gesetzte Richtung zeigen mussten.

Die Gitteratome wurden durch die umliegenden Atome, die sich außerhalb des Gitters befanden, auf sehr tiefe Temperaturen von 12 Nanokelvin gekühlt. Dadurch ließ sich die thermische Energie der Gitteratome auf ein Viertel der Tunnel­energie verringern, sodass das Hubbard-Modell auch für sehr tiefe effektive Temperaturen simuliert werden konnte.

Bevor der Simulator aussagekräftige Ergebnisse lieferte, mussten die Forscher noch ein weiteres Problem lösen. Beim Hubbard-Modell ist die Elektronen­dichte im Gitter konstant. Werden die Atome jedoch bei der Simulation mit einem (üblicherweise) harmonischen Potential festgehalten, nimmt ihre Dichte zum Rand des Gitters hin ab und es tritt kein einheitliches Verhalten auf. Doch ein spezielles Lichtfeld sorgte für eine konstante Teilchen­dichte über das ganze Gitter. Mit einem Mikroskop ließ sich für jeden Gitterplatz feststellen, ob auf ihm ein Atom saß und in welche Richtung dessen Spin zeigte.

Mit ihrem Simulator haben die Forscher zwei Phasenübergänge detailliert vermessen: Zum einen, wie der Mott-Isolator bei einer Temperatur­absenkung zum Antiferro­magneten (AF) wurde, und zum anderen, wie dieser wiederum bei Verringerung der Elektronen­dichte in einen metallischen Zustand überging. Dabei konnten sie im ersten Fall beobachten, wie die magnetische Ordnung immer größere Bereiche des Gitter erfasste und dass es dabei vom Zufall abhing, in welche Raumrichtung die einheitliche Magnetisierung schließlich zeigte.

Während beim ersten Phasen­übergang (Mott zu AF) die experimentellen Ergebnisse gut mit Computer­simulationen übereinstimmten, standen für den zweiten (AF zu Metall) keine Computer­ergebnisse zur Verfügung. Hier hat der Hubbard-Simulator Neuland eröffnet. Jetzt kann man auch erstmals untersuchen, wie bei sehr tiefen Temperaturen und bei Verringerung der Teilchen­dichte der AF zunächst in eine „Pseudogap-Phase“ übergeht, um dann zu einem Supraleiter zu werden. Außerdem lassen sich durch Simulation bisher unbekannte Zustände und Phasen­übergänge studieren, indem man z. B. andere Gitter­formen benutzt oder lang­reichweitige atomare Dipol­wechselwirkungen einführt.

Rainer Scharf

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