A Guide to Quantum Groups
Chari, Pressley
A Guide to Quantum Groups
Von V. Chari u. A. Pressley.
Oxford University Press, Oxford 1994. XV + 651 S., Hardcover,
ISBN 0-521-43305-3
Quantengruppen sind Physikern in Deutschland am ehesten bekannt als verallgemeinerte Symmetrien, die u. U. in phänomenologischen oder fundamentalen quantenphysikalischen Theorien eine Rolle spielen können; zu ihrer Verbreitung hier haben insbesondere J. Wess und G. Mack beigetragen. Die rasche Entwicklung dieses Gebiets an der Grenze von Physik und Mathematik macht nun eine zusammenfassende Einführung wünschenswert.
Das Buch der in Kalifornien resp. London lehrenden Mathematiker kann als "Introduction to Newcomers" allerdings nicht empfohlen werden, solange diese nicht über fundierte mathematische Kenntnisse verfügen und sich nicht bereits auf Seite 3 von einem Satz wie "We ... define the category of quantum groups to be the category dual to the category of (not necessarily commutative) Hopf algebras." abschrecken lassen. Eine Angabe der nötigen Vorkenntnisse und entsprechende Literaturverweise fehlen leider. Für den, der bereits Erfahrungen mit diesem sich rasant entwickelnden Forschungszweig gemacht hat, kann das Buch jedoch eine wertvoller Wegweiser sein: Die Überblicke zur Theorie von Poisson-Lie-Gruppen und Lie-Bialgebren sowie deren Quantisierungen, zu Yang-Baxter-Gleichungen und ihren Lösungen und zu universellen Einhüllendenalgebren und ihren Darstellungen sind ausgezeichnet. Zusammenhänge z. B. zur Knotentheorie werden hergestellt und Spezialgebiete der harmonischen Analyse und Quasi-Hopf-Algebren erwähnt.
Der Band spiegelt aber auch ein Hauptproblem der Quantengruppenforschung wider: Während der Großteil der Theorie aus physikalischen Motivationen entstanden ist, die hier viel zu kurz kommen, und auch die überwiegende Zahl der Beiträge in physikalischen Zeitschriften erscheint, wird in Überblicksartikeln meist eine exakte, aber wenig lebendige mathematische Darstellung angestrebt. Wenig hilfreich sind die Angabe von 2000 (!) Referenzen - höchstens 400 davon tauchen im Text auf -, die gelegentlich von zweifelhafter Qualität sind (und von denen zugunsten der Autoren angenommen werden mag, daß sie nicht wirklich alle gelesen haben) und die Kommentierung von Wittens wichtigen Ergebnissen über 3-Mannigfaltigkeiten mit "It seems that this has not yet been completely translated into rigorous mathematics."
Im Vergleich mit den übrigen in jüngster Zeit erschienenen Büchern zu Quantengruppen (Fuchs, Lusztig, Kassel) ist der hier besprochene Text trotz aller Vorbehalte der für interessierte mathematische Physiker empfehlenswerteste. Eine zweite Auflage als preiswertes Paperback ist kürzlich erschienen.
A. Schirrmacher, Berkeley
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