15.11.2018

Fraktale Elektronen

Bei der Anordnung in selbst­ähnlichen Strukturen nehmen Elek­tronen eine fraktale Dimen­sionalität an.

In der Biologie sind fraktale Gebilde ein lange bekanntes und wirkungs­volles Bauprinzip: Nicht nur der Romanesco-Blumenkohl, auch Farne, Nautilus­schnecken und zahlreiche andere Organismen beruhen auf selbst­ähnlichen Strukturen, die auf verschiedenen Größen­skalen das gleiche Muster aufweisen. Auch im mensch­lichen Körper finden sich fraktale Einheiten. So sind etwa Lungen­bläschen und das Venen­netzwerk fraktal aufgebaut. Nun können sich biolo­gische Muster nicht bis ins Mikro­skopische fortsetzen, sondern enden spätestens auf der Zellebene. Mathe­matisch gesehen besitzen Fraktale aber eine verblüffende Eigen­schaft: Sie besitzen eine „krumme“ Anzahl von Dimen­sionen.

Abb.: Abbildung der Wellenfunktion über die Leitfähigkeit der im Sierpinski-Dreieck gefangenen Elektronen. (Bild: S. N. Kempkes et al.)

Das erklärt sich daraus, dass etwa ein Sier­pinski-Dreieck sich weder durch eine Fläche, noch durch einen Strich darstellen lässt: Unterteilt man ein gleich­seitiges Dreieck stets entlang der Kanten­mitte in vier gleich große Unter­dreiecke und entfernt das mittlere, und führt diesen Prozess rekursiv mit allen neu ent­stehenden Dreiecken fort bis ins Unendliche, dann entsteht eine fraktale Struktur, die auf allen Größen­ordnungen zu sich selbst ähnlich ist – und das weder eine Fläche, noch etwas Linien­förmiges ist. Die Dimension des Sierpinski-Dreiecks berechnet sich zu log2 3, was ungefähr 1,58 ergibt. Nun verhalten sich Elektronen unter­schiedlich, je nachdem, ob sie in ein-, zwei- oder dreidi­mensionalen Strukturen vorliegen. So bilden sie etwa in einer Dimension eine Luttinger-Flüssig­keit, in zwei Dimen­sionen hingegen zeigen sie den Quanten-Hall-Effekt. Ein Forscher­team um Ingmar Swart und C. Morais Smith von der Univer­sität Utrecht hat deshalb nun die Eigen­schaften von Elektronen in selbst­ähnlichen Nano­strukturen untersucht, um heraus­zufinden, inwieweit sich ihr Verhalten entsprechend der fraktalen Dimen­sion ihrer Umgebung ändert.

Hierzu erzeugten die Forscher zunächst ein mikro­skopisches Sierpinski-Dreieck. Auf der Oberfläche eines Kupferkristalls brachten sie mit hoher Präzision Kohlen­monoxid-Moleküle an. Die entlang des Kristall­gitters geschnittene Oberfläche des Kupfer­kristalls eignet sich besonders für derartige Versuche, weil die Elektronen sich einer­seits quasi frei auf der Oberfläche bewegen können, anderer­seits aber auch an diese Schicht gebunden sind. Die Kohlen­monoxid-Moleküle wiederum fungierten als abstoßendes Poten­zial, mit dem die Wissen­schaftler die Bewegungs­freiheit der Elektronen auf bestimmte Bereiche ein­schränken konnten.

Die Forscher ordneten zahlreiche Kohlen­monoxid-Moleküle mit einem Rastertunnel­mikroskop so an, dass sich ein Sierpinski-Dreieck in dritter Generation ergab – bei dem also drei Itera­tionen an Löchern im Muster auftauchten. Das gesamte Gebilde hatte eine Ausdehnung von nur knapp zwanzig Nanometern, wobei die kleinsten Abstände zwischen benach­barten Dreiecks­plätzen gut einen Nanometer betrugen. Um ther­misches Rauschen zu minimieren, geschahen die Versuche bei einer Temperatur von 4,5 Kelvin.

Die Dimen­sionalität der Elektronen überprüften die Wissen­schaftler dann ebenfalls per Rastertunnel­mikroskop, indem sie die räumlich und energetisch aufgelöste lokale Zustands­dichte abtasteten. Bei allen gemessenen Energien hatten die Elektronen eine Dimension von 1,58, was der mathe­matisch zu erwartenden Zahl entspricht. Die Elektronen verhielten sich also so, als ob sie sich in einem nicht ganz­zahligen Raum aufhielten. Dabei zeigte sich in den räumlichen Mustern der Wellen­funktion bei unter­schiedlichen Energien eine stehende Welle, die von der Inter­ferenz der Elektronen herrührte, die sich an den abstoßenden Kohlen­monoxid-Molekülen streuten. Wie die Fourier-Analyse ergab, entsprach dieses Muster den drei Gene­rationen des Sierpinski-Dreiecks. Auch im Impulsraum spiegelte sich also die fraktale Natur der räum­lichen Anordnung wieder. Interessant am Versuch ist auch die Tatsache, dass es bereits bei nur drei Itera­tionen der Verschach­telung eines solchen fraktalen Gebildes bereits zu einer so klaren „Dimensions­verschiebung“ der Elektronen kommt.

Die Wissen­schaftler analy­sierten ihr System auch theoretisch, und zwar auf zwei verschiedene Weisen. Einmal als eng gebundenes System, bei dem die Elektronen zwischen benach­barten Plätzen hin und her springen können, ein andermal als zweidi­mensionales Elektronengas, das im Sierpinski-Dreieck einge­schlossen ist. In beiden Fällen konnten sie die stationäre Schrödinger­gleichung lösen, wobei beide Beschreibungs­weisen im Einklang mit den experimen­tellen Ergeb­nissen waren. Was sich mit solchen gebrochen-dimen­sionalen Elektronen­gasen in Zukunft alles anstellen lässt, ist noch ein offenes Forschungs­gebiet. Fraktale Elektronik könnte besondere Effekte mit sich bringen, die sich mit neuartigen Quanten­punkten, topologisch geschützten Zuständen und ähnlichen Dingen ausnützen lassen.

Dirk Eidemüller

JOL

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