07.04.2022

Gesättigte Quantenkomplexität

Neues Modell könnte das Volumen von schwarzen Löchern oder Wurmlöchern beschreiben.

Zwischen Quantenphysik und Gravitations­theorie klafft ein ziemlicher Graben. Allerdings hat die theoretische Physik in den letzten Jahrzehnten mit Hilfe einer plausiblen Vermutung eine Brücke konstruiert, um diesen Graben zu überwinden. Das hilft dabei, das Verhalten von komplexen Quanten-Vielkörper­systemen zu beschreiben, zum Beispiel von schwarzen Löcher und Wurmlöchern im Universum. Nun hat eine Theoriegruppe an der Freien Universität Berlin und am Helmholtz Zentrum Berlin HZB zusammen mit Teams von der Harvard-University eine mathe­matische Vermutung über das Verhalten von Komplexität in solchen Systemen bewiesen, und damit die Tragfähigkeit dieser Brücke erhöht. 

Abb.: Mit solchen geometrischen Modellen kann die Komplexität von...
Abb.: Mit solchen geometrischen Modellen kann die Komplexität von Vielteilchen­systemen ermittelt werden. (Bild: Nat. Phys. / HZB)

„Wir haben eine überraschend einfache Lösung für ein wichtiges Problem in der Physik gefunden“, sagt Jens Eisert, theoretischer Physiker an der Freien Universität Berlin und am HZB. Nur mit Stift und Papier ist es den Berliner Physikern Jonas Haferkamp, Philippe Faist, Naga Kothakonda und Jens Eisert zusammen mit Nicole Yunger Halpern (Harvard U.) gelungen, eine Vermutung zu beweisen, die große Auswirkungen auf komplexe Quanten-Vielkörper­systeme besitzt. „Das spielt zum Beispiel eine Rolle, wenn man das Volumen von Schwarzen Löchern oder auch Wurmlöchern beschreiben will“, erklärt Jonas Haferkamp. 

Komplexe Quanten-Vielkörper­systeme lassen sich durch Schaltungen aus Quanten-Bits nachbauen. Die Frage ist jedoch: Wie viele elementare Operationen sind nötig, um den gewünschten Zustand zu präparieren? Oberflächlich scheint es so auszusehen, dass diese minimale Anzahl an Operationen – die Komplexität des Systems – stets am Wachsen ist. Die Physiker Adam Brown und Leonard Susskind von der Stanford Universität formulierten diese Intuition als eine mathe­matische Vermutung: Die Quanten­komplexität eines Vielteilchen­systems sollte zunächst linear wachsen für astronomisch lange Zeiten und dann noch länger in einem Zustand maximaler Komplexität verharren.

Motiviert wurde ihre Vermutung durch das Verhalten von Wurmlöchern in Gravitations­theorien, deren Volumen scheinbar ewig lange linear anwächst. Tatsächlich wird weiter vermutet, dass Komplexität und das Volumen von Wurmlöchern ein und dieselbe Größe aus zwei verschiedenen Blickwinkeln sind. „Diese Redundanz in der Beschreibung wird auch holo­graphisches Prinzip genannt und ist ein wichtiger Ansatz zur Vereinigung von Quanten­theorie und Gravitation. In einem gewissen Sinne kann Brown und Susskinds Vermutung zum Wachstum von Komplexität also als Plausibilitäts­check für Ideen rund um das holo­graphische Prinzip betrachtet werden“, erklärt Haferkamp.

Die Gruppe hat nun gezeigt, dass die Quanten­komplexität von Zufalls­schaltungen tatsächlich mit der Zeit linear ansteigt, bis sie zu einem Zeitpunkt gesättigt ist, der exponentiell zur Systemgröße ist. Solche Zufalls­schaltungen sind ein mächtiges Modell für die Dynamik von Vielteilchen­systemen. Die Schwierigkeit der Vermutung kommt daher, dass man kaum ausschließen kann, dass es Abkürzungen gibt, also Schaltkreise mit viel geringerer Komplexität als erwartet. „Unser Beweis ist eine überraschende Kombination aus geometrischen Methoden und solchen aus der Quanten­informationstheorie. Dieser neue Zugang macht es möglich, die Vermutung für die überwältigende Mehrheit von Systemen zu lösen ohne das notorisch schwierige Problem für individuelle Zustände angehen zu müssen“, sagt Haferkamp. „Unsere Ergebnisse bieten eine solide Grundlage für das Verständnis der physikalischen Eigenschaften chaotischer Quanten­systeme, von schwarzen Löchern bis hin zu komplexen Vielteilchen­systemen“, fügt Eisert an. 

HZB / JOL

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