Optimale Düse

Optimale Düse

Eine bizarr geformte Düse liefert kleinere Tropfen als eine Düse mit kreisförmiger Öffnung.

Groß ist die Nachfrage nach kleinen Düsen, die winzige Flüssigkeitströpfchen erzeugen können. Solche Düsen werden z. B. in Tintenstrahldruckern eingesetzt oder im Lab-on-a-Chip, mit dem man kleinste Flüssigkeitsmengen verarbeiten und analysieren kann.

Um möglichst kleine Tröpfchen herzustellen, kann man den Innendurchmesser einer Düse verringern. Doch hier stößt man schnell an Grenzen, die durch die Stabilität der Düse gesetzt werden. Je enger die Öffnung der Düse ist, desto größeren Druck muss man auf die Flüssigkeit und damit auch auf die Düse ausüben, um einen Tropfen herauszupressen. Der Druck muss die Kräfte überwinden, die durch die Oberflächenspannung des sich bildenden Tropfens verursacht werden – und die sind umso größer je kleiner der Tropfen, d. h. je stärker gekrümmt seine Oberfläche ist.

Für Düsen mit kreisförmigem Querschnitt lässt sich das minimale Tropfenvolumen dadurch verringern, dass man den Druck zeitlich verändert. Führt ein nichtkreisförmiger Querschnitt zu noch kleineren Tropfen? Bei konstantem Druck bringt eine Düse, deren Öffnung die Form eines gleichseitigen Dreiecks mit lang gezogenen Spitzen hat, tatsächlich Tropfen mit 18% kleinerem Volumen hervor als eine kreisförmige Düse unter gleichen Bedingungen. Das hatten Berechnungen von Henry Chen und Michael P. Brenner von der Harvard University im letzten Jahr gezeigt. Jetzt haben Forscher am Trinity College in Dublin berechnet, dass eine Öffnung mit der Form eines dreidimensional verbogenen Dreiecks das Tropfenvolumen sogar um 33% verringern kann.

Paul McGuinness, Wiebke Drenckhan and Denis Weaire untersuchen normalerweise die physikalischen Eigenschaften von Schaum, der z. B. aus gasgefüllten Seifenblasen besteht. Wenn eine Düse Seifenblasen erzeugt, spielt die Schwerkraft im Vergleich zur Oberflächenspannung der Blasen keine Rolle. Das gilt auch für die Erzeugung von sehr kleinen Flüssigkeitströpfchen, sodass diesen Vorgängen dasselbe physikalische Gesetz zugrunde liegt.

Wenn ein auf der Düse sitzender Tropfen seine Größe nicht verändert, dann sind die Oberflächenspannung γ des Tropfens und der Druck p der Flüssigkeit miteinander im Gleichgewicht. Die Flüssigkeitsoberfläche stellt sich dann so ein, dass sie in jedem Punkt die gleiche mittlere Krümmung κ = (1/r ₁+1/r ₂) hat, wobei r ₁ und r ₂ die beiden Hauptkrümmungsradien sind. Es gilt dann die Young-Laplace-Gleichung: p = γ κ.

Ist der angewandte Druck p=0, dann bildete die Oberfläche des Tropfens eine Minimalfläche wie man sie von Seifenmembranen kennt, deren mittlere Krümmung überall null ist. Mit zunehmendem Druck tritt der Tropfen aus der Düsenöffnung hervor. Im Falle einer kreisförmigen Düse mit Radius R hat der Tropfen die Form einer kreisförmigen Kugelkappe, wobei der Kugelradius r zunächst stetig ab- und die Krümmung des Tropfens zunimmt: κ = 2/r. Wenn der Tropfen als Halbkugel auf der Düsenöffnung sitzt, ist der Kugelradius am kleinsten (r=R) und die Tropfenoberfläche erreicht ihre größte Krümmung K = 2/R. Jetzt hält der Tropfen dem größten Druck P = γ K stand.

Wächst der Tropfen weiter, dann nimmt sein Kugelradius wieder zu und die Krümmung ab. Überschreitet der Flüssigkeitsdruck den kritischen Wert P, so ist keine Tropfenform stabil und der entstehende Tropfen wird sich schließlich von der Düse ablösen. Sein Volumen entspricht etwa dem Volumen V des Tropfens, der beim kritischen Druck P stabil ist. Das Ziel ist es nun, dieses Tropfenvolumen V durch eine geeignete Wahl der Düsenform möglichst klein zu machen, wobei die Querschnittsfläche der Düse, der kritische Druck P und die Oberflächenspannung γ konstant gehalten werden.

Denis Weaire und seine Kollegen haben dieses Problem mit Hilfe des frei zugänglichen Programms „Surface Evolver“ gelöst, mit dem man Flächen minimieren kann, die bestimmten Randbedingungen, Kräften und Oberflächenspannungen unterliegen. Die Forscher untersuchten zunächst, welches Tropfenvolumen V sich für verschiedene ebene Düsenöffnungen ergab. Es zeigte sich, dass eine kreisförmige Öffnung die größten Tropfen erzeugte, gefolgt von quadratischen, dreieckigen und krummlinig quadratischen Tropfen bei denen die Seiten eingedrückt waren. Das kleinste Tropfenvolumen erhielt man indes mit krummlinig dreieckigen Düsenöffnungen: Es betrug 83,6% des Volumens der Tropfen aus den kreisförmigen Düsen – in guter Übereinstimmung mit dem Resultat von Chen und Brenner.

Dann deformierten die Dubliner Forscher die ebenen Düsenöffnungen so, dass sie dreidimensionale Gebilde wurden. Sie bogen die Spitzen der krummlinigen Dreiecke vor oder zurück, bezogen auf die Strömungsrichtung der aus der Düse austretenden Flüssigkeit. Wenn die Spitzen um etwa 54 Grad nach vorn gebogen waren, sodass sie den entstehenden Tropfen halten konnten, nahm das Tropfenvolumen V ein Minimum an, das nur noch 67% des Topfenvolumens für kreisförmige Düsen betrug. Ob hier eine weitere Verkleinerung der Tropfen möglich ist, die auch technisch interessant wäre, muss sich noch zeigen.

Wie die Forscher betonen, gelten ihre Resultate nicht nur für Flüssigkeitstropfen in der Luft sondern allgemein für zwei verschiedene, nichtmischbare Flüssigkeiten oder Gase. Das können z. B. Gasblasen sein, die in eine Flüssigkeit injiziert werden; Flüssigkeitstropfen, die in eine andere Flüssigkeit hineingespritzt werden; oder eine Gasblase, die von einem Seifenfilm umgeben ist und in ein anderes Gas injiziert wird. Um die Bildung von größeren Flüssigkeitstropfen zu beschreiben, müsste man allerdings auch Trägheitskräfte und die Schwerkraft berücksichtigen.

Rainer Scharf

Weitere Infos:

• Originalveröffentlichung:
  P. McGuinness et al.: The optimal tap: three-dimensional nozzle design. J. Phys. D: Appl. Phys. 38, 3382 (2005).
  http://dx.doi.org/10.1088/0022-3727/38/18/009  
• Foam Physics am Trinity College Dublin:
  http://www.tcd.ie/Physics/Foams/  
• Ken Brakkes Surface Evolver:
  http://www.susqu.edu/facstaff/b/brakke/evolver/evolver.html  
• Spezielle Dokumente und Informationen zum Thema Düsen finden Sie ganz einfach mit der Findemaschine, z. B. in der Kategorie Computational Physics.

Weitere Literatur:

• H. Henry Chen & Michael P. Brenner: The Optimal Faucet. Phys. Rev. Lett. 92, 166106 (2004).
  http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.92.166106
  http://arxiv.org/abs/physics/0311046