Universelle Netzschwankungen

„Think networks!“ Folgt man Albert-László Barabásis Ratschlag, dann entdeckt man plötzlich überall Netzwerke. Die unterschiedlichsten Agenten – ob Proteine, Internet-Router oder publizierende Wissenschaftler – schließen sich zu Netzen zusammen, die sich in ihrem Aufbau verblüffend ähneln.

Barabási, der an der University of Notre Dame in Indiana lehrt, gehört zu der rasch wachsenden Gruppe (dem Netz?) von Netzwerk-Forschern. Diese Wissenschaftlern haben bislang vor allem die statischen Eigenschaften von Netzwerken untersucht, z. B. die Art wie die Knoten eines Netzes miteinander verknüpft sind. Fragt man etwa nach dem Bruchteil P(k) der Knoten, die mit k anderen Knoten direkt in Verbindung stehen, so findet man für die meisten Netzwerke ein einfaches Potenzgesetz: P(k) ~ k ^γ. Der Wert des Exponenten γ hängt dabei vom jeweiligen Netz ab.

Nimmt man z. B. als Netz das Internet und als Knoten die verschiedenen Domains, so erhält man für den Exponenten γ ungefähr den Wert 2,1. Nimmt man hingegen als Knoten die Router, dann ergibt sich γ ≈ 2,4. Beim World Wide Web sind die Webseiten durch Links miteinander verknüpft. Da die Links gerichtet sind, erhält man auch zwei verschiedene Exponenten: γ _ein ≈ 2,1 und γ _aus ≈ 2,4. Bei den Koautornetzen der Wissenschaftler („Wer hat mit wem schon einmal eine Arbeit veröffentlicht?“) gibt es sogar erhebliche Unterschiede zwischen den Disziplinen. Die Hochenergiephysiker haben mit γ ≈ 1,2 einen recht kleinen Exponenten verglichen mit den Medizinern (2,1) und den Mathematikern (2,5).

Doch außer ihren interessanten (statischen) Struktureigenschaften haben Netzwerke noch mehr zu bieten. Sie sind normalerweise dynamische Gebilde, in denen sich einiges abspielt. So werden über das Internet Datenpakete verschickt, im WWW gibt es Zugriffe auf die Webseiten und auf dem Straßennetz fahren Autos. Marcio Argollo de Menezes und Albert-László Barabásis haben das „Verkehrsaufkommen“ in verschiedenen Netzwerken genauer untersucht und dabei eine interessante Entdeckung gemacht.

Zunächst wurde für ausgewählte Netzknoten ermittelt, wie sich der jeweils durch sie hindurchgehende Fluss (an Daten oder Material) zeitlich veränderte. Anschließend wurde für jeden dieser Knoten der Mittelwert f des Flusses über die Zeit sowie seine Schwankung s um diesen Mittelwert bestimmt. Dabei ergab sich ein einfacher Zusammenhang in Form eines Potenzgesetzes: s ~ f ^α.

Der Exponent α nahm überraschender Weise nur zwei verschiedene Werte an. Für den Datenfluss durch bestimmte Router im Internet oder durch die Schaltelemente in einem Mikrochip war α = 1/2. Für die Zugriffe auf bestimmte Adressen im WWW ergab sich hingegen α = 1. Denselben Wert für den Exponenten erhielten die Forscher für den Straßenverkehr durch Autobahnknoten in den USA, Brasilien und Japan, sowie für die Wassermenge, die täglich durch die größeren Flüsse in den USA abfließt.

Wie kommt dieser Unterschied zustande? Dass im Internet der Datenaustausch zwischen den Knoten in beide Richtungen erfolgen kann, beim WWW hingegen die Links nur in eine Richtung zeigen, ist nicht der Grund. Das konnten die beiden Forscher mit Computerexperimenten für zwei verschiedene Modelle zeigen. Beim ersten Modell diffundierten Teilchen über ein ungerichtetes Netzwerk, beim zweiten Modell fand ein gerichteter Transport zwischen zufällig ausgewählten Sendern und Empfängern statt. Für beide Modelle ergab sich α = 1/2.

Des Rätsels Lösung fanden die beiden Forscher, als sie in ihren Modellen die Zahl der Teilchen zufällig schwanken ließen, die zu einer bestimmten Zeit durch das Netzwerk diffundierten oder gerichtet liefen. Zu den internen Schwankungen des vom Zufall abhängigen Teilchenflusses durch die Knoten des Netzwerks kamen jetzt noch von außen vorgegebene Schwankungen hinzu.

Wenn die inneren Schwankungen dominierten, ergab sich α = 1/2. Überwogen hingegen die von außen vorgegebenen Schwankungen, so war α = 1. Tatsächlich zeigte es sich, dass sowohl beim Internet als auch beim Mikrochip die internen Schwankungen des Datenflusses 100-mal größer waren als die extern verursachten. Bei den anderen untersuchten Systemen waren die internen und externen Schwankungen hingegen etwa gleich groß. Die Struktur des Netzwerkes sowie sein Exponent γ scheint keine Rolle dabei zu spielen, in welche der beiden Universalitätsklassen es fällt. Netzwerke sind doch immer für eine Überraschung gut.

Rainer Scharf

Weitere Infos:

• Originalveröffentlichung:
  M. Argollo de Menezes und A.-L. Barabási, Fluctuations in Network Dynamics, Phys. Rev. Lett. 92, 028701 (2004).
  http://link.aps.org/abstract/PRL/v92/e028701
  http://xxx.arxiv.org/abs/cond-mat/0306304    
• Kontakt:
  Albert-László Barabási, E-Mail: alb@nd.edu    
• Albert-László Barabásis Netzwerk-Seiten:
  http://www.nd.edu/~networks/    
• Réka Alberts Gruppe:
  http://www.phys.psu.edu/~ralbert/    
• Stefan Bornholdts Gruppe:
  http://statphys.izbi.uni-leipzig.de/    
• Steven H. Strogatz’ Gruppe:
  http://www.tam.cornell.edu/Strogatz.html   
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Weitere Literatur:

• Reka Albert und Albert-Laszlo Barabasi, Statistical mechanics of complex networks, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002).
  http://link.aps.org/abstract/RMP/v74/p47
  http://xxx.arxiv.org/abs/cond-mat/0106096