24.04.2009
Verbotener Diamagnetismus doch möglich?
Ein thermisches Gas aus geladenen Teilchen kann sich trotz des Bohr-van-Leeuwen-Theorems diamagnetisch verhalten
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Ein thermisches Gas aus geladenen Teilchen kann sich trotz des Bohr-van-Leeuwen-Theorems diamagnetisch verhalten.
Diamagnetische Substanzen wie Wismut haben selbst kein magnetisches Moment, zeigen aber im Magnetfeld eine Magnetisierung, die dem Feld entgegen gerichtet ist. Alle Versuche, dieses Verhalten im Rahmen der klassischen Physik zu erklären, scheint das Bohr-van Leeuwen-Theorem zu vereiteln. Demnach bleibt ein Gas aus elektrisch geladenen, unmagnetischen Teilchen im thermischen Gleichgewicht stets unmagnetisch, ganz egal welchem Magnetfeld es ausgesetzt wird. Zwei indische Forscher haben jetzt eine verblüffende Ausnahme gefunden, die interessante Fragen aufwirft.
Beim Beweis des genannten Theorems geht man so vor: Um die Magnetisierung eines Gases aus geladenen Partikeln (Masse m und Ladung e) im thermischen Gleichgewicht zu bestimmen, berechnet man die freie Energie F = - lnZ/β mit der kanonischen Zustandssumme Z = ∫ exp(-βH(q,p)) dq dp, wobei q und p für die Orte bzw. Impulse aller Teilchen stehen. Im Magnetfeld (mit dem Vektorpotential A) hat die Hamilton-Funktion die Form H(q,p) = (p-eA)2/2m + V(q). Das Magnetfeld macht sich dabei nur als Verschiebung des Impuls-Nullpunkts bemerkbar, die bei der Integration über den unbeschränkten Impulsraum wegfällt. Demnach hängen weder Z noch F vom Magnetfeld ab. Für die Magnetisierung gilt dann M = - ∂F/∂B=0 und das Gas ist nicht diamagnetisch.
Lässt sich der Diamagnetismus semiklassisch erklären? Im Magnetfeld bewegen sich die Ladungen in einer Ebene senkrecht zur Feldrichtung auf gleichsinnigen Kreisbahnen, die nur für bestimmte Quantisierungsbedingungen stabil sind. Die so vom Magnetfeld induzierten Ströme erzeugen ein magnetisches Moment, das dem Feld entgegen zeigt (Lenzsche Regel) und somit diamagnetisch ist. Sind die Ladungen jedoch von Wänden in ein endliches Volumen eingesperrt, so werden einige Ladungen immer wieder an den Wänden reflektiert und hüfen an ihnen auf bogenförmigen Bahnen entlang. Dabei umlaufen sie die Feldlinien in einer Richtung, die dem Drehsinn der kreisenden Ladungen entgegengesetzt ist. Im Gleichgewicht heben sich die magnetischen Momente der Kreisbahnen und der hüpfenden Wandbahnen exakt auf – also wieder kein Diamagnetismus.
Was passiert aber, wenn sich die Ladungen auf einer Kugeloberfläche bewegen, sodass es keine Wandbahnen gibt, die den Diamagnetismus der Kreisbahnen auslöschen können? Das haben jetzt Narendra Kumar vom Raman Research Institute und Vijay Kumar vom Indian Institute of Science, beide in Bangalore, mit Hilfe einer klassischen Langevin-Dynamik untersucht. Dabei wurden einzelne Ladungen, die sich in einem Magnetfeld B bewegten, der Lorentz-Kraft, einer Reibungskraft sowie einer zufällig schwankenden thermischen Kraft ausgesetzt. Insgesamt wurden 106 Teilchenbahnen für unterschiedliche Zufallskräfte ermittelt. Anschließend wurde für jede Bahn das zeitabhängige magnetische Moment berechnet. Die Summe über alle Bahnen ergab schließlich die Magnetisierung M(t) des Gases.
Und siehe da: M(t) war B entgegen gerichtet und ging gegen einen zeitlich konstanten und zu B proportionalen Wert! Das Gas war somit diamagnetisch geworden. Doch zugleich hatten die Impulse der Gasteilchen eine Maxwell-Verteilung. Das Gas war also auch im thermischen Gleichgewicht, sodass es nach dem Bohr-van Leeuwen-Theorem hätte unmagnetisch sein müssen. Die Forscher geben zwei mögliche Erklärungen für diesen Widerspruch. Entweder trifft das Theorem für „wandlose“ Behälter nicht zu. Oder die Langevin-Dynamik liefert überraschender Weise nicht dasselbe Resultat wie ein kanonisches Ensemble. Dafür könnten Korrelationen zwischen der Geschwindigkeit und der Lorentz-Beschleunigung der Teilchen verantwortlich sein, die die Energie unverändert lassen, aber dennoch zu einer Magnetisierung führen. In jedem Fall ist das Resultat unerwartet.
Wie kann man den bisher nicht für möglich gehaltenen, von Teilchenbahnen verursachten Diamagnetismus experimentell beobachten? Die indischen Forscher schlagen vor, mikrometergroße Kügelchen aus nichtleitendem Material mit einer dünnen Metallschicht zu überziehen und in einem Isolator einzubetten. Die Ladungsträgerkonzentration der Schicht sollte nicht zu groß sein, damit die Ladungen ein nichtentartetes Gas bilden. Wenn die Metallschicht dünner als die thermische de Broglie-Wellenlänge der Ladungsteilchen ist, spielt der radiale Freiheitsgrad in der Metallschichte keine Rolle und die Ladungen bewegen sich wie klassische Teilchen in einer zweidimensionalen Kugelfläche. Ob dabei tatsächlich Diamagnetismus auftritt, muss ein Experiment entscheiden.
RAINER SCHARF
Weitere Infos:
Weitere Literatur:
Ein thermisches Gas aus geladenen Teilchen kann sich trotz des Bohr-van-Leeuwen-Theorems diamagnetisch verhalten.
Diamagnetische Substanzen wie Wismut haben selbst kein magnetisches Moment, zeigen aber im Magnetfeld eine Magnetisierung, die dem Feld entgegen gerichtet ist. Alle Versuche, dieses Verhalten im Rahmen der klassischen Physik zu erklären, scheint das Bohr-van Leeuwen-Theorem zu vereiteln. Demnach bleibt ein Gas aus elektrisch geladenen, unmagnetischen Teilchen im thermischen Gleichgewicht stets unmagnetisch, ganz egal welchem Magnetfeld es ausgesetzt wird. Zwei indische Forscher haben jetzt eine verblüffende Ausnahme gefunden, die interessante Fragen aufwirft.
Beim Beweis des genannten Theorems geht man so vor: Um die Magnetisierung eines Gases aus geladenen Partikeln (Masse m und Ladung e) im thermischen Gleichgewicht zu bestimmen, berechnet man die freie Energie F = - lnZ/β mit der kanonischen Zustandssumme Z = ∫ exp(-βH(q,p)) dq dp, wobei q und p für die Orte bzw. Impulse aller Teilchen stehen. Im Magnetfeld (mit dem Vektorpotential A) hat die Hamilton-Funktion die Form H(q,p) = (p-eA)2/2m + V(q). Das Magnetfeld macht sich dabei nur als Verschiebung des Impuls-Nullpunkts bemerkbar, die bei der Integration über den unbeschränkten Impulsraum wegfällt. Demnach hängen weder Z noch F vom Magnetfeld ab. Für die Magnetisierung gilt dann M = - ∂F/∂B=0 und das Gas ist nicht diamagnetisch.
Lässt sich der Diamagnetismus semiklassisch erklären? Im Magnetfeld bewegen sich die Ladungen in einer Ebene senkrecht zur Feldrichtung auf gleichsinnigen Kreisbahnen, die nur für bestimmte Quantisierungsbedingungen stabil sind. Die so vom Magnetfeld induzierten Ströme erzeugen ein magnetisches Moment, das dem Feld entgegen zeigt (Lenzsche Regel) und somit diamagnetisch ist. Sind die Ladungen jedoch von Wänden in ein endliches Volumen eingesperrt, so werden einige Ladungen immer wieder an den Wänden reflektiert und hüfen an ihnen auf bogenförmigen Bahnen entlang. Dabei umlaufen sie die Feldlinien in einer Richtung, die dem Drehsinn der kreisenden Ladungen entgegengesetzt ist. Im Gleichgewicht heben sich die magnetischen Momente der Kreisbahnen und der hüpfenden Wandbahnen exakt auf – also wieder kein Diamagnetismus.
Was passiert aber, wenn sich die Ladungen auf einer Kugeloberfläche bewegen, sodass es keine Wandbahnen gibt, die den Diamagnetismus der Kreisbahnen auslöschen können? Das haben jetzt Narendra Kumar vom Raman Research Institute und Vijay Kumar vom Indian Institute of Science, beide in Bangalore, mit Hilfe einer klassischen Langevin-Dynamik untersucht. Dabei wurden einzelne Ladungen, die sich in einem Magnetfeld B bewegten, der Lorentz-Kraft, einer Reibungskraft sowie einer zufällig schwankenden thermischen Kraft ausgesetzt. Insgesamt wurden 106 Teilchenbahnen für unterschiedliche Zufallskräfte ermittelt. Anschließend wurde für jede Bahn das zeitabhängige magnetische Moment berechnet. Die Summe über alle Bahnen ergab schließlich die Magnetisierung M(t) des Gases.
Und siehe da: M(t) war B entgegen gerichtet und ging gegen einen zeitlich konstanten und zu B proportionalen Wert! Das Gas war somit diamagnetisch geworden. Doch zugleich hatten die Impulse der Gasteilchen eine Maxwell-Verteilung. Das Gas war also auch im thermischen Gleichgewicht, sodass es nach dem Bohr-van Leeuwen-Theorem hätte unmagnetisch sein müssen. Die Forscher geben zwei mögliche Erklärungen für diesen Widerspruch. Entweder trifft das Theorem für „wandlose“ Behälter nicht zu. Oder die Langevin-Dynamik liefert überraschender Weise nicht dasselbe Resultat wie ein kanonisches Ensemble. Dafür könnten Korrelationen zwischen der Geschwindigkeit und der Lorentz-Beschleunigung der Teilchen verantwortlich sein, die die Energie unverändert lassen, aber dennoch zu einer Magnetisierung führen. In jedem Fall ist das Resultat unerwartet.
Wie kann man den bisher nicht für möglich gehaltenen, von Teilchenbahnen verursachten Diamagnetismus experimentell beobachten? Die indischen Forscher schlagen vor, mikrometergroße Kügelchen aus nichtleitendem Material mit einer dünnen Metallschicht zu überziehen und in einem Isolator einzubetten. Die Ladungsträgerkonzentration der Schicht sollte nicht zu groß sein, damit die Ladungen ein nichtentartetes Gas bilden. Wenn die Metallschicht dünner als die thermische de Broglie-Wellenlänge der Ladungsteilchen ist, spielt der radiale Freiheitsgrad in der Metallschichte keine Rolle und die Ladungen bewegen sich wie klassische Teilchen in einer zweidimensionalen Kugelfläche. Ob dabei tatsächlich Diamagnetismus auftritt, muss ein Experiment entscheiden.
RAINER SCHARF
Weitere Infos:
- Originalveröffentlichung:
N. Kumar and K. Vijay Kumar: Classical Langevin dynamics of a charged particle moving on a sphere and diamagnetism: A surprise. EPL 86, 17001 (2009)
http://dx.doi.org/10.1209/0295-5075/86/17001 (frei) - Narendra Kumar am Raman Research Institute in Bangalore:
http://www.rri.res.in/~nkumar/
Weitere Literatur:
- Dibyendu Roy and N. Kumar: Langevin dynamics in crossed magnetic and electric fields: Hall and diamagnetic fluctuations. Phys. Rev. E 78, 052102 (2008)
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.78.052102
http://arxiv.org/abs/0806.0022v3 - S. Dattagupta, A. M. Jayannavar, N. Kumar: Landau diamagnetism revisited. Curr. Sci. 80, 861 (2001)
http://www.ias.ac.in/currsci/apr102001/861.pdf (frei)
http://arxiv.org/abs/cond-mat/0106646 - R. E. Peierls: Surprises in Theoretical Physics. (Princeton University Press, Princeton 1979), S. 99ff
- Amikam Aharoni: Introduction to the Theory of Ferromagnetism. (Oxford University Press, Oxford 2000), S. 6ff
AL
