Erwartungswert für ein einzelnes Photon

Üblicherweise bestimmt man einen quantenmechanischen Erwartungs­wert, indem man ein Experi­ment viel­fach wieder­holt und dabei die entspre­chende Messung durch­führt. Dass schon eine einzelne „schützende“ Messung den richtigen Erwar­tungs­wert liefern kann, hat jetzt ein inter­natio­nales Forscher­team gezeigt.

Die Wissenschaftler um Marco Genovese vom INRIM in Turin und Lev Vaidman von der Uni Tel Aviv griffen dabei auf eine Idee von Vaidman und Yakir Aharonov zurück. Sie hatten 1993 unter­sucht, ob man die quanten­mecha­nische Wellen­funktion eines Teilchens nur dadurch messen kann, dass man sie viele Male präpa­riert, wie es Max Borns Wahr­schein­lich­keits­inter­pretation fordert. Oder ob es nicht möglich ist, durch behut­same Messungen an einem einzelnen Teilchen die Wellen­funktion beliebig genau zu ermitteln.

Aharonov und Vaidman waren zu dem Schluss gekommen, dass in der nicht­relati­vis­tischen Quanten­mechanik unter bestimmten Bedin­gungen die Wellen­funktion eines einzelnen Teilchens tatsäch­lich gemessen werden kann. Demnach lässt sich für ein Teilchen durch eine einzige Messung auch der Erwar­tungs­wert einer Obser­vablen bestimmen, also gänz­lich ohne die übliche Mittel­wert­bildung über viele Mess­ergeb­nisse.

Dabei kommt es sowohl auf die Wellenfunktion des Teilchens als auch auf die Art der Messung an. Normaler­weise nimmt man an, dass das Teilchen nur für kurze Zeit „impulsiv“ mit der Mess­appa­ratur wechsel­wirkt. Dadurch wird es so gestört, dass es sich nach der Messung mit einer durch die Wellen­funktion gege­benen Wahr­schein­lich­keit in einem Eigen­zustand der gemes­senen Obser­vablen wieder­findet, während das Mess­gerät den zuge­hörigen Eigen­wert als Erwar­tungs­wert anzeigt.

Alternativ kann man das Teilchen und die Mess­appa­ratur sehr schwach und über eine lange Zeit mit­ein­ander wechsel­wirken lassen. Bei dieser schützenden Messung ent­wickelt sich das Teilchen adia­batisch. Ist sein Anfangs­zustand von den anderen Zuständen durch eine Energie­lücke getrennt, so befindet es sich auch nach der Messung noch in diesem Zustand. Das Mess­gerät zeigt auch in diesem Fall den entspre­chenden Erwar­tungs­wert an.

Jetzt hat das Forscherteam um Genovese und Vaidman an einzelnen linear polari­sierten Photonen den Erwar­tungs­wert der Polari­sation in einer fest­ge­legten Basis gemessen. Die Photonen wurden zunächst paar­weise in einem Lithium­iodid­kristall durch para­metrische Abwärts­konver­sion erzeugt. Jeweils eines der beiden Photonen diente dazu, die Ankunft des anderen bei einer Photo­detektor­anord­nung anzu­kündigen. Dieses ange­kündigte Photonen war in der Horizont-Vertikal-Polari­sations­basis im Zustand cos(a)|H> + sin(a)|V>.

Eine direkte Messung der Polari­sation P = |H> <H| − |V> <V| am einzelnen Photon hätte entweder +1 oder −1 ergeben, ähnlich der Messung der Spinquantisierung beim Stern-Gerlach-Experiment. Den Erwartungswert <P> = cos(a)2 – sin(a)2 hätte man auf diese Weise erst nach Mitteldung über eine große Zahl von Polarisationsmessungen erhalten.

Die Forscher führten die Polari­sations­messung durch, indem sie einzelne Photonen durch sieben hinter­ein­ander­liegende doppel­brechende Kristalle laufen ließen. Die Kristalle lenkten die beiden Polari­sations­kompo­nenten |H> und |V> quer zur Strahl­richtung unter­schied­lich stark ab. Die Photonen hätten bei dieser Messung die Detektor­anord­nung jeweils an einem von zwei Extrem­punkten getroffen, die den Erwar­tungs­werten +1 oder −1 ent­sprechen. Die Messung wurde jedoch schützend durchgeführt, indem das Photon nach jedem doppel­brechenden Kristall einen Polari­sator durch­lief, der es in seine ursprüng­liche Polari­sations­richtung zurück­proji­zierte. Durch diesen Quanten-Zeno-Effekt blieb der anfäng­liche Polari­sations­zustand des Photons nahezu erhalten. Die Ablen­kung des Photons von der Strahl­rich­tung änderte sich jedoch propor­tional zum Erwar­tungs­wert der Polari­sation. Das Photon erreichte deshalb den Detektor an einem Punkt, der zwischen den beiden Extrem­punkten lag und an dem man den Erwar­tungs­wert der Polari­sation ablesen konnte.

Wurde die schützende Messung für mehrere Photonen wiederholt, so lieferte sie ein genau­eres Ergebnis als die ent­spre­chende her­kömm­liche Polari­sations­messung. Nach Meinung der Forscher zeigt ihr Experi­ment, dass unter bestimmten Bedin­gungen auch schon einzelnen Teilchen Erwar­tungs­werte und eine Wellen­funktion zukommen. Für die schützende Messung musste zwar die Ein­stellung der sieben Polari­sa­toren mit der ursprüng­lichen Polari­sations­richtung des Photons über­ein­stimmen. Doch wenn Alice unbeob­achtet von Bob das Photon präpa­riert und die Polari­sa­toren einge­stellt hat, kann Bob dennoch die Polari­sation des Photons mit Hilfe einer schützenden Messung bestimmen.

Rainer Scharf

RK